Petite réflexion

Deux de mes frères ont récemment fêté leurs anniversaires, ils ont eu 13 et 31 ans. Marrant : l’âge de l’un est le miroir de l’autre. En regardant de plus près, on remarque que cette curiosité se répète tous les 11 ans. Regardez, si on ajoute 11 à chaque fois :

13 | 31
24 | 42
35 | 53
46 | 64
57 | 75
68 | 86
79 | 97

Et ça s’arrête là parce qu’on arrive à 3 chiffres.

Le plus rigolo, c’est que l’explication n’est pas mathématique ; mathématiquement, le « reflet » d’un nombre n’existe pas.

34 réponses sur “Petite réflexion”

  1. C’est quand meme mathematique hein

    Tu prend un nombre au hasard composé de deux chiffre x et y
    « l’inverse » est donc y-x

    Quand tu ajoute 11, ça revient à ajouter 1 à x et 1 à y. Et ce de chaque côté.
    Donc c’est normal que tu obtienne
    x+1 ; y+1 | y+1 ; x+1

  2. Bah c’est peut-être pas mathématique mais c’est logique, si t’as un nombre « palindrome » ou « suite » genre 1234 et que tu rajoutes +1 à chaque chiffres (donc 11 pour les nombres à 2 chiffres), le résultat conserve la propriété palindrome ou suite…
    Ou alors j’ai pas compris la phrase de conclusion.

  3. Les chiffres et l’addition, oui c’est mathématique. Mais le « reflet » ne l’est pas. Quand tu dis :

    Tu prend un nombre au hasard composé de deux chiffre x et y
    “l’inverse” est donc y-x

    Ce n’est pas mathématique. Donc voilà pourquoi je dis ça. :)

  4. Le reflet n’est pas mathématique, mais l’explication, si, donc tu dis n’importe quoi, d’autant plus que d’après ton truc, il faut que leur âge s’incrémente de 1 tous les ans, comment tu peux le prévoir ?? :p

  5. Si, c’est mathématique.
    En considérant non pas le nombre 11 mais l’écriture décimale de ce nombre, tu auras la définition suivant :

    « pour x un nombre dont l’écriture décimale de taille n est notée x1, x2, …, xn.

    Reflet de x = y tel que y est le nombre dont l’écriture décimale est xn, x(n-1), … x1. »

    J’ai déjà utilisé ces définitions en théorie des langages ou en théorie des automates, qui sont des branches d’une des branches de mathématique : l’informatique fondamentale.

  6. @groug: Je peux le prévoir parce que c’est mathématique ! :D

    @El Charpi: Le reflet dont tu parles n’est pas le même… Il n’a complètement rien à voir ! :)

  7. Tout nombre x peut se décomposer en x=[somme i=1 à n (x(i)*10^(i-1))] alors son reflet est y=[somme i=1 à n (x(n+1-i)*10^(i-1))] n étant alors le nombre de chiffres de ton nombre (mais si mais si), donc si tu ajoutes [somme i=1 à n (10^(i-1))] à x et y, tu démontres facilement (sur une feuille paskun clavier c’est limité) que les nombres que tu obtiens sont reflets l’un de l’autre, sauf evidément si les nombres que tu obtiens ont un chiffre de plus… Vous voyez que c’est mathématique…

  8. Nononoononon je dis des bétises, la condition n’est pas que la somme ne fasse pas gagner un chiffre, en fait on peut meme ajouter [somme i=1 à n (a*10^(i-1))] avec a entier et 0<a<8, tant que pour tout xi, xi+a<10, marrant non…

    1. Alors là bravo, pour critiquer l’aspect mathématique (ou pas) y a du monde, mais pour les fautes d’orthographe y a plus personne !

      Merci c’est corrigé. :)

  9. @ remouk : rien à voir ?
    Ah bon.
    Pour moi, il s’agissait d’un inversement de l’ordre des symboles, soit exactement ce que fait un miroir.

    Alors où j’ai rien compris, ou c’est exactement celui dont je parle.

  10. En allant un peu plus loin, la soustraction de deux reflets donne toujours un multiple de 9, quels que soient les nombres (321 – 123 = 198 = 22×9, 45781 – 18754=27027 = 3003×9)

    Bizarre :D

  11. La définition de Charpi est bonne, ca donne x1x2…x(n-1)xn et son miroir xnx(n-1)…x2x1, spas encore super mathématique mais ça reste compréhensible pour un littéraire, la mienne l’est plus mais elle est incompréhensible…

    Pour ce qui est du multiple de 9, en effet:
    Somme[x=1 à n (xi*10^(i-1))] – Somme [x=1 à n (xi*10^(n-i))]
    =Somme[x=1 à n (xi*(10^(i-1)-10^(n-i)))]

    Or pour tout a et b entiers naturels 10^a-10^b est un multiple de 9:
    si a=b, ca fait 0, multiple de 9.
    si a>b,
    (Somme[x=b à a-1 (9*10^i)])+10^b=
    (9*10^b+9*10^(b+1)+…+9*10^(a-1))+10^b=
    (9*10^(b+1)+9*10^(b+2)+…+9*10^(a-1))+10^(b+1)=
    …=10^a
    donc 10^a-10^b=Somme[x=b à a-1 (9*10^i)]
    Or Somme[x=b à a-1 (9*10^i)]=9*Somme[x=b à a-1 (10^i)], il est donc multiple de 9
    Si a<b même chose avec -Somme[x=a à b-1 (9*10^i)]

    Donc pour tout i entier, (10^(i-1)-10^(n-i)) est multiple de 9 et peut s’écrire (10^(i-1)-10^(n-i))=ai*9 donc
    Somme[x=1 à n (xi*(10^(i-1)-10^(n-i)))]=Somme[x=1 à n (xi*ai*9)]
    =9*Somme[x=1 à n (xi*ai)], c’est donc un multiple de 9.
    Je sais je sais je trippe tout seul, mais c’est beau les maths….

  12. C’est peut-être « pas encore super mathématique », mais je m’en sers dans mes études donc bon…

    D’ailleurs, question bidon : qu’est-ce que quelque chose de « vraiment mathématique », à part quelque chose de formalisé ?

  13. En effet je me suis mal exprimé, c’était mathématique mais je voulais plutôt dire pas complètement formalisé, le formaliser permet de le démontrer, ce que tu ne cherchais pas à faire. En me relisant je me rends compte que c’était un poil méprisant dit comme ca, désolé…

  14. Ouep, d’accord avec le développement de Franzy.
    Et je trouve l’explication de El Charpi assez mathématique quand même !

    Tiens il suffit de définir une loi (la loi # par exemple), qui agit comme ceci :

    a1#a2#a3#…#an = a1*10^n+a2*10^(n-1)+…+(a(n-1))^10+a[n], avec a1,a2…,an dans {0,1,…9}. Par exemple 1#4#3=143, ce qui revient exactement à ce que fait Franzy (nombre à n chiffres).

    Ici on se limite à seulement deux chiffres. On n’a qu’à définir la fonction f de ({0,1,…9})² dans {00,01,…,99} qui à (a,b) associe a#b.

    Cette loi n’est pas commutative mais on vérifie facilement que pour tout (a,b) de {0,1,…8}² on a :

    f(a+1,b+1)=(a+1)#(b+1)=a#b+1#1=a#b+11=f(a,b)+11
    f(b+1,a+1)=(b+1)#(a+1)=b#a+1#1=b#a+11=f(b,a)+11

    Donc si on ajoute 11 à deux nombres miroirs b#a et a#b, on obtient bien (b+1)#(a+1) et (a+1)#(b+1) qui sont également miroirs.

    Tout ça n’est pas super rigoureux (même loin de là, il faudrait refaire ça plus sérieusement), mais ça montre qu’on peut y faire intervenir les mathématiques quand même.

  15. Sinon, avez-vous remarqué que tous les nombres palindromes à nombre pair de chiffres sont divisibles par 11 ? Exemples : 11 22 3883 12344321.

    Signé 1138, qui ne faisait que passer.

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